Août 2022 petite fierté personnelle, cet article est cité en référence dans le numéro 341 de Science & Pseudo-Sciences publié par l’AFIS Association française pour l’information scientifique. Dans ce numéro, une série d’articles sont consacrés à l’addiction aux jeux d’argent et de hasard. Voici le lien vers le site de l’AFIS. Je vous rappelle que Science & Pseudo-Sciences est disponible chaque trimestre chez votre marchand de journaux. Les anciens numéros sont accessibles gratuitement sur le site de l’AFIS. Ce magazine, sans publicité, est parrainé par des scientifiques réputés. On trouve par exemple Gérald Bronner, Jean-Paul Delahaye, Guillaume Lecointre, Alan Sokal ou Hervé This… Merci à Jean-Paul Krivine, rédacteur en chef, d’avoir cité mon article en référence de son dossier. Quelle fierté ! Ce blog cité en référence dans le numéro 341 de Science & Pseudo-Sciences Les mathématiques peuvent certainement vous éclairer sur la meilleure façon de jouer à l’Euromillions ou au Loto de la française des jeux. La réponse va peut-être vous surprendre, mais voici la grille qui vous rapportera le plus d’argent 32 38 39 40 41 Comment le blog d’un prof de mathématiques peut prétendre vous aider à gagner à l’Euromillions ? Ce blog serait-il devenu un piège à naifs qui se propose de révéler l’avenir à l’aide de formules complexes, de termes abscons ou d’un pendule… Lisez donc la suite… Voici le plan de cet article — Calculons les chances de gains à l’Euromillions Nombre de tirage à l’Euromillions Calcul du nombre de permutations — Calculons les chances de gains à l’Euromillions Tout d’abord, sur une grille d’Euromillions vous devez cocher 5 numéros parmi 50 et 2 étoiles parmi 11. On va considérer que le tirage est parfaitement aléatoire, l’huissier de justice en témoignera. Ainsi en mathématiques on parle d’équiprobabilité des tirages. Nombre de tirages à l’Euromillions Il reste donc à déterminer combien de tirages sont possibles à l’Euromillions. Pour les compter, il suffit de s’imaginer à la place du hasard qui est entrain de constituer le prochain tirage. Il y a 50 boules, il y a donc 50 possibilités pour choisir la première boule. Il en reste alors 49, 49 possibilités pour la deuxième boule, 48 pour la troisième, 47 pour la quatrième et 46 possibilités pour la dernière. Ainsi qu’il y a tirages possibles. Attention cependant, avec cette manière de faire nous avons compté le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 mais aussi le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 4 et le tirage 2 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5…. Bref nous avons compté plein de fois le même tirage dans le désordre… Alors que l’ordre est sans importance au Loto contrairement au Tiercé. Combien y a t-il de tirages de 5 numéros quelque soit l’ordre ? On appelle cela une permutation. Calcul du nombre de permutations Il suffit pour cela d’appliquer le même raisonnement. Par exemple si nous considérons le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5, et essayons de les placer dans un certain ordre. Alors il y a 5 possibilités pour choisir le premier ; 4 pour choisir le deuxième ; 3 pour le troisième ; 2 pour le quatrième et une possibilité pour le dernier. En conclusion il y a permutations d’un même tirage. Le nombre de tirages possibles à l’Euromillions est donc En mathématiques on appelle ce raisonnement le calcul de combinaisons. Le résultat précédent est le nombre de combinaisons de 5 nombres choisis parmi 50. On le note souvent ou encore La formule générale est où désigne la factorielle de c’est à dire le produit de tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à Ensuite pour les étoiles, il faut choisir une combinaison de 2 étoiles parmi 11, il y a combinaisons. Ainsi le nombre de tirages possibles à l’Euromillions est Finalement, comme il n’y a qu’une bonne combinaison, mes chances de trouver le bon tirage sont d’une sur 116 531 800. Avec un raisonnement semblable on trouve de même pour le Loto, une chance sur 19 068 840. Mais une chance sur 116 531 800 ça représente quoi ? La presse essaie sans cesse de donner des comparaisons avec des situations réelles. Cependant elles sont rarement parlante car difficilement vérifiable. Voici néanmoins un exemple de jeu comparable à l’Euromillions. J’ai lu qu’il y avait environ 35 000 grains de riz dans 1 kg et que cette masse correspond environ à 1,18 L. . Il y a donc environ 116 531 800 grains de riz dans 3 329 kg de riz. De plus . Ainsi vous avez donc autant de chance de gagner à l’Euromillions que de trouver du premier coup les yeux bandé et une main dans le dos un grain de riz peint en rose caché dans une piscine pleine de grains de riz qui ferait 2m de long, 2m de large et 1m de profondeur !!! Cette piscine se trouve dans mon jardin en ce moment…. Combien de fois me donneriez-vous 2 euros pour jouer à mon super RizoMillions ? Et finalement comme au Loto on a environ 6 fois plus de chance de gagner, il faut refaire le jeu précédent dans une mini-pataugeoire pleine de riz de 1m de long sur 1m de large et de 60 cm de profondeur… Mais pourquoi y-a-t-il quand même des gagnants ? Évidemment, quelqu’un ajoutera mais il y a quand même des gagnants ! . Et heureusement pour le gentil organisateur, car sans gagnant pas de joueur et la probabilité de gain à l’Euromillions comme celle du Loto national n’est pas issue du hasard. Bien au contraire il y a 9 pays qui jouent à l’Euromillions France, Suisse, Luxembourg, Portugal, Irlande, Royaume-Unis, Espagne, Autriche, Belgique qui représentent environ 220 000 000 d’habitants, donc des joueurs possibles. Cependant en enlevant les enfants, les couples qui comptent doubles et les athées qui ne croient pas en la chance on arrive à environ 45 000 000 de grilles jouées en réalité entre 20 et 60 millions de grilles en fonction du montant de la cagnotte ce qui permet d’avoir des gagnants de manière régulière mais pas systématiquement pour stimuler la demande. En piochant 45 000 000 de grains dans ma piscine il y a moins d’une chance sur 3 de tomber sur le bon grains rose !!! mais ces grilles ne sont pas toutes différentes contrairement à mes grains de riz !!! Le Loto National et ses 1 chance sur 19 000 000 pour 65 000 000 d’habitants voit 1 à 10 millions de grilles jouées chaque semaine en fonction du gros lot ! Quelle stratégie adopter pour gagner plus à l’Euromillions? Le hasard n’a pas de mémoire Une mauvaise nouvelle pour commencer le hasard n’a pas de mémoire ! Même si les mathématiciens connaissent parfaitement les lois de probabilités qui régissent un tirage de l’Euromillions il n’y a aucune méthode pour déterminer un tirage plus probable qu’un autre car tous les tirages ont la même probabilité de sortir, une chance sur 116 531 800. Ainsi le tirage qui est sorti la semaine dernière peut ressortir cette semaine avec autant de chance que les autres. Il peut même sortir dix fois de suite… Le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 à la même chance de sorti que le tirage 32 ; 38 ; 39 ; 40 et 41 !!! Attention cependant, en probabilité il faut être précis. Ainsi le tirage de la semaine dernière à la même chance que tous les autres de réapparaître mais la probabilité que deux tirages identiques arrivent successivement ne correspond pas à la même question. Cette probabilité est très faible, de l’ordre d’une chance sur , soit dix millionièmes de milliardièmes… Mais cette probabilité très faible est la même que celle que deux tirages quelconques que nous aurions choisi au hasard se réalise dans lors des deux prochains tirages… Et oui, l’être humain n’a pas une intuition naturelle des probabilités, heureusement que les mathématiques sont là pour nous aider à y voir plus clair ! La loi des grands nombres Il y a aussi la loi des grands nombres, cette fameuse loi qui permet à certains sites de vous conseiller à l’aide d’arguments statistiques les numéros les moins sortis récemment. Cependant la connaissance des derniers tirages, et même de tous les tirages n’est d’aucune aide pour choisir sa grille. En effet la loi des grands nombres affirment que les résultats statistiques d’une expérience aléatoire tendent à l’infini vers la loi de probabilité de l’expérience. En clair, comme à l’Euromillions chaque numéro à une chance sur 50 de sortir, à l’infini, la fréquence de sorti d’un numéro est égale à . Mais l’infini c’est long… Long… Et si un numéro n’est pas sorti lors des 200 derniers tirages… il se passera peut-être quelques milliers de tirages ce qui est peu devant l’infini ! avant que cela ne se rétablisse. Ainsi il ne faut donc pas se laisser abuser par des sites ou de revues très sérieuses qui vous présentent la probabilité se sortie d’un numéro pour le prochain tirage en tenant compte de l’historique de sortie de ce numéro. Je le répéte le hasard n’a pas de mémoire ! Il n’y a pas de numéros à l’écart et d’autres plus en forme ! J’ai lancé 100 fois une pièce de 2 euros, j’ai fait 73 piles et 27 faces, quelle est la probabilité de faire face au prochain lancé ? Une chance sur deux… évidemment ! A l’infini… dans très longtemps… plusieurs millénaires n’y suffiraient pas… la pièce sera tombé exactement le même nombre de fois côté pile et côté face. Jouer plusieurs grilles ou plus de 5 numéros Certains auteurs mathémato-statistico-astrologues proposent d’augmenter les chances de gagner à l’Euromillions en proposant des systèmes de grilles multiples. Le principe consiste à se dire par exemple qu’en choisissant 9 numéros on augmente sa chance d’avoir parmi eux les 5 bons ou moins en fonction de ce que ces sites appellent la garantie !!! . Par contre il faut jouer toutes les grilles possibles contenant ces 9 numéros. C’est là que l’on vous propose ces fameuses grilles magiques, gratuitement ou pas. Augmente t’on ses chances ? Allez, encore un peu de maths … Imaginez que je sois convaincu que les 5 bons numéros sont dans la liste 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. Combien y-a t-il de grilles de 5 numéros parmi ces 9 numéros ? C’est à nouveau une combinaison de 5 numéros parmi 9, il y en a . Il faut donc jouer 126 grilles à 2 euros…. C’est long et cher. De combien a-t-on amélioré nos gains ? Nous jouons une grille de 9 numéros. Combien y a t-il de grilles de 9 numéros parmi 50 numéros ? Bien sur . Combien y a t-il de grilles gagnantes ? Pour constituer ces grilles on place d’abord les 5 numéros gagnants et reste à choisir les 4 derniers numéros parmi les 45 restants. Il y a donc grilles gagnantes. La probabilité de gagner avec nos 126 grilles de 9 numéros est donc . Il faut comparer avec la probabilité de gagner avec une grille de 5 numéros qui est . Mais …. Finalement en jouant 126 grilles de 9 numéros on a multiplié ses chances de gains par … 126 !!!! Génial comme astuce ! En jouant 3 fois plus on multiplie par 3 ses chances de gains. Voilà qui mérite de vous faire payer une petite obole… La seule stratégie gagnante La seule stratégie qui est efficace repose sur le secret le mieux gardé de la Française des Jeux les statistiques qui concernent les numéros les plus joués. En effet comme toutes les combinaisons ont la même probabilité d’apparaître, le seul moyen d’optimiser ses gains et de jouer les numéros les moins joués par les autres de telle manière à être moins nombreux à se partager les gains en cas de tirage gagnant. Vendredi 17 octobre 2014, dans La tête au carré sur France Inter, le mathématicien statisticien Aver Bar -Hen a donné la liste de ce six numéros cités en début de cet article. Ils sont d’après lui les numéros les moins joués sans qu’il précise comment il avait obtenu ce résultat. Il a rappelé que le numéro 7 était le plus joué pour des raisons très irrationnelles, ainsi que les numéros inférieurs à 31 pour des raisons de dates anniversaire. Alors quitte à jouer mieux vaut jouer une grille peu jouée par les autres. Attention cependant, si tout le monde se met à jouer cette grille cette seule astuce mathématique tombe à l’eau. S’il vous plait, laissez-moi seul jouer cette grille ! Combien gagne-t-on en moyenne à l’Euromillions et au Loto ? Cette question porte le nom d’espérance mathématiques en probabilité. L’espérance mathématique consiste à calculer la moyenne des gains pondérées par les probabilités de réalisation de chaque gain. Wikipédia donne les gains moyens à l’Euromillions ainsi que les probabilité de gagner à chaque rang. D’ailleurs on découvre à cette occasion que la probabilité de ne rien gagner du tout en jouant à l’Euromillions est d’environ 92 % !! Je comprends mieux ma malchance perpétuelle. J’ai ainsi rapidement calculé l’espérance de gain moyenne à l’Euromillions, environ -1 euro. En clair malgré le tintamarre des super méga cagnottes, on perd en moyenne 1 euro en jouant 2 euros à Euromillions. Qui ose dire maintenant que les mathématiques ne sont pas de précieuses alliées pour jouer à l’Euromillions ou au Loto. Que chacun choisisse de jouer ou de ne pas jouer, mais en connaissance des lois les plus simples des probabilités. Je vous conseille de tester mon simulateur de tirages du Loto sur ce même excellent blog, ce qui vous permettra de vérifier tous les calculs présentés dans cet article. Lire à ce sujet deux articles de Aver Bar-Hen Ce que les maths disent sur l’Euromillions et autres Lotos Combien rapporte un numéro gagnant au Loto Je vous conseille également une note de lecture disponible sur ce blog Hasard et intuition, quand les probabilités nous piègent…